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　　因数与倍数教案

　　第九单元倍数和因数

　　【知识点讲解和梳理】

　　一、数的世界

　　1、认识自然数和整数，联系乘法认识倍数与因数。

　　整数：如-3，-2，-1，0，1，2，3，4，??这样的数叫做整数。

　　自然数：如0，1，2，3，4，5，??这样的数叫做自然数。

　　2、我们只在自然数（零除外）范围内研究倍数和因数。

　　3、倍数与因数是相互依存的关系，要说清谁是谁的倍数，谁是谁的因数。补充【知识点】：一个数的倍数的个数是无限的。

　　二、2，5的倍数的特征

　　1、2的倍数的特征。个位上是0，2，4，6，8的数是2的倍数。

　　2、5的倍数的特征。个位上是0或5的数是5的倍数。

　　3、偶数和奇数的定义。是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。

　　4、能判断一个数是不是2或5的倍数。

　　5.、能判断一个非

　　零自然数是奇数或偶数。

　　补充【知识点】：既是2的倍数，又是5的倍数的特征：个位上是0的数既是2的倍数，又是5的倍数。

　　三、3的倍数的特征

　　1、3的倍数的特征。

　　一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。

　　2、能判断一个数是不是3的倍数。

　　补充【知识点】：1、同时是2和3的倍数的特征：个位上的数是0，2，4，6，8，并且各个数位上的数字的和是3的倍数的数，既是2的倍数，又是3的倍数。

　　2、同时是3和5的倍数的特征：个位上的数是0或5，并且各个数位上的数字的和是3的倍数的数，既是3的倍数，又是5的倍数。

　　3、同时是2，3和5的倍数的特征。个位上的数是0，并且各个数位上的数字的和是3的倍数的数，既是2和5的倍数，又是3的倍数。

　　四、找因数

　　在1～100的自然数中，找出某个自然数的所有因数。

　　方法：运用乘法算式，思考：哪两个数相乘等于这个自然数。找一个数的因数，就是看它可以由哪两个因数相乘得到

　　补充【知识点】：一个数的因数的个数是有限的。其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。

　　五、找质数

　　1、理解质数与合数的意义。

　　按因数的个数分类：大于1的自然数可以分为（质数）和（合数）。

　　一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数。

　　一个数除了1和它本身以外还有别的因数，这个数叫作合数。

　　2、1既不是质数也不是合数。

　　3、判断一个数是质数还是合数的方法：

　　一般来说，首先可以用“2，5，3的倍数的特征”判断这个数是否有因数2，5，3；如果还无法判断，

　　则可以用7，11等比较小的质数去试除，看有没有因数7，11等。只要找到一个1和它本身以外的因数，就能肯定这个数是合数。如果除了1和它本身找不到其他因数，这个数就是质数。

　　4、100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、、79、83、89、、97。

　　补充【知识点】既是质数，又是偶数的自然数（2）；既是质数，又是奇数的最小数（3）

　　既不是质数，又不是合数的数（1）；既是偶数，又是合数的最小数（4）

　　既是奇数又是合数的最小数（9）；最大的一位合数，还是偶数（8）

　　六、数的奇偶性

　　1、运用“列表”“画示意图”等方法发现规律：

　　小船最初在南岸，从南岸驶向北岸，再从北岸驶回南岸，不断往返。通过“列表”“画示意图”的方法会发现“奇数次在北岸，偶数次在南岸”的规律。

　　2、能够运用上面发现的数的奇偶性解决生活中的一些简单问题。

　　3、通过计算发现奇数、偶数相加奇偶性变化的规律：

　　偶数+偶数=偶数奇数+奇数=偶数偶数+奇数=奇数

　　补充【知识点】：

　　大于2的偶数都是合数。（√）

　　所有的质数都是奇数。如：2（×）

　　一个数最小的倍数和最大的因数都是它本身。（√）

　　两个相邻的自然数必定一质一合。如：2和3（×）

　　最小的质数是2，最小的合数是4，最小的偶数是0，最小的奇数是1

　　（√）两个连续的自然数都是质数，这两个数是2和3（√）

　　两个质数的积一定是合数（√）

　　两个质数的和，可能是质数，也可能是合数。如2+3=53+5=8(√)

　　奇数+奇数=偶数奇数+偶数=奇数（√）

　　【重点知识归纳及讲解】

　　1、公约数、最大公约数和互质数的意义

　　（1）公约数的意义。几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数。

　　如：12和18的公约数有：1、2、3、6.

　　（2）最大公约数的意义。几个数的公约数中最大的一个，叫这几个数的最大公约数。如：12和18的最大公约数是6.

　　（3）互质数的意义。公约数只有1的两个数，叫做互质数。如：3和8是互质数，15和16也是互质数。

　　①成为互质数的两个数，不限定必须是质数。

　　②质数和互质数的意义不同。质数是就一个数说的，互质数是就两个数的关系说的。

　　2、注意：求两个数的最大公约数的两种特殊情况。

　　①如果较小数是较大数的约数，那么较小数就是这两个数的最大公约数。如：15和45的最大公约数是15。

　　②如果两个数是互质数，它们的最大公约数就是1。如：8和15的最大公约数是1。

　　3、解题技巧指点：

　　（1）求几个数的最大公约数时，要正确地理解和运用“最大公约数乘半边”这一规律，即求最大公约数时，要把所有的除数都乘起来。

　　（2）用短除法求两个数的公约数时，不一定要用最小的质数去除，也可以用较大的合数甚至是最大的公约数去除。

　　（3）用短除法求两个数的最大公约数时，最后的两个商一定要是互质数，否则，求得的结果就不是最大公约数。

　　（4）正确判断是求已知几个数的最大公约数还是求最小公倍数是应用题的解题关键。技巧是：如果所求的数能够整除几个已知同类数，是求最大公约数的问题；如果所求数必须能同时被已知几个同类数整除，是求最小公倍数问题。如：

　　①用某数去除23、32结果都余2，问这个数最大是多少？（求最大公约数问题）

　　②某班同学如果每8人一组，或是每12人一组，结果都差3人，求某班学生最少有多少人？（求最小公倍数问题）

　　4、求两个数最小公倍数的两种特殊情况。

　　（1）如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数，如：12和6的最小公倍数是12.

　　（2）如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。

　　5、求三个数的最小公倍数的方法．

　　先用三个数的公有质因数去除，当三个数公有的质因数都找尽以后，再用任何两个数的公有质因数去除，把不能整除的那个数移下来，写在商的位置上，一直除到最后的三个商每两个数都是互质数（两两互质）为止。再把所有的除数和商都乘起来。

　　例1、求18和30的最大公约数。

　　分析：

　　用短除法求两个数的最大公约数。一般先用这两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来。

　　解：

　　3、求最大公约数的实际应用。

　　例2、有两根木料，一根长12米，另一根长18米，现在要把它们截成相等的小段，每根不许有剩余，每小段最长是多少？一共可以截成多少段？

　　分析：

　　这里求每小段最长是多少米，就是求12和18的最大公约数。

　　2＋3=5（段）

　　答：每小段最长6米，一共可以截5段。

　　4、求两个数的最小公倍数的方法。

　　例3、求18和30的最小公倍数。

　　分析：

　　用短除法求两个数的最小公倍数。一般先用这两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数和商连乘起来。

　　答：18和30的最小公倍数是2×3×3×5＝90.

　　5、求最小公倍数的实际应用。

　　例4、一些小朋友分组做游戏，第一次分组每组4人余下2人，第二次分组每组5人也余下2人，第三次分组每组6人还是余下2人。问最少有多少名小朋友做游戏？

　　分析：

　　根据题意，要求最少有多少名小朋友做游戏，就是在求出4、5、6这三个数的最小公倍数后，再加上2。

　　第九单元倍数和因数

　　知识点：因数和倍数的含义

　　练习：1、4×3=12，（）是（）的因数，（）是（）的倍数。

　　2、3×6=18，所以3是因数，18是倍数。（）【判断】

　　3、因为12÷（）=（），所以20是（）和（）的倍数。【填空】

　　知识点：求一个数的因数和倍数

　　练习：1、一个数最小的因数是（），最大的因数是（），一个数因数的个数是（）的。如18的最小因数是（），最大因数是（）。【填空】

　　2、一个数最小的倍数是它（），（）最大的倍数。一个数倍数的个数是（）的。如：4的最小倍数是（）。

　　3、写出7的倍数：（），40以内6的倍数（，30的因数（）。91的因数（）。

　　４、在4、6、8、12、16、18、20、24这八个数中，4的倍数有（），

　　6的倍数有（），既是4的倍数又是6的倍数有（）。【填空】

　　5、在1、2、3、4、6、12、18这些数中，12的因数有（），18的因数有（），既是12的因数又是18的因数有（）。【填空】

　　6、一个数既是40的因数，又是5的倍数，这个数可能是（）。【填空】

　　7、一个数的最小倍数减去它的最大因数，差是（）。一个数的最小倍数除以它的最大因数，商是（）。

　　8、如果a的最大因数是17，b的最小倍数是1，则a+b的和的所有因数有（）个；a-b的差的所有因数有（）个；a×b的积的所有因数有（）个。【填空】

　　9、一个数的最大因数是17，最小倍数是17，这个数是（）。【填空】

　　练习：1、个位上是()的数，都能被2整除；个位上是()的数，都能被5整除。【填空】

　　2、在18、29、45、30、17、72、58、43、75、100中，2的倍数有（）；3的倍数有（）；5的倍数有()，既是2的倍数又是5的倍数有（），既是3的倍数又是5的倍数有（）。【填空】

　　3、按要求做。从0、3、5、7、这4个数中，选出三个组成三位数。【填空】

　　（1）组成的数是2的倍数有：

　　（2）组成的数是5的倍数有：。

　　（3）组成的数是3的倍数有：。

　　4、不计算，判断哪几道题的结果没有余数。【选择】

　　48÷3□57÷3□342÷3□567÷3□802÷3□

　　5、要使7□这个两位数是3的倍数，□里可以填（）；三位数□12是3的倍数，□里可以填（）；三位数3□5是3的倍数，□里可以填（）。

　　6、3的倍数都是9的倍数，9的倍数都是3的倍数。（）【判断】

　　7、任何奇数加上1后都是2的倍数。（）【判断】

　　8、个位上是3、6、9的数都是3的倍数。（）【判断】

　　9、671至少加上（）或减（），所得的自然数就是3的倍数。【填空】

　　10、同时是2和5倍数的数，最小两位数是()，最大两位数是()。

　　11、同时是2、3、5的倍数的数，最小是（），最小的三位数是（）

　　12、4的倍数都是2的倍数，2的倍数都是4的倍数。（）【判断】

　　13、12□既是2的倍数，又是3的倍数，□可以填（）【填空】

　　14、一个数既是2的倍数，又是3的倍数，这个数是（）的倍数，一个数既是2的倍数，又是5的倍数，这个数是（）的倍数，一个数既是3的倍数，又是5的倍数，这个数是（）的倍数.

　　知识点：奇数、偶数、素数和合数

　　练习：1、在27、68、44、72、587、602、431、800中。【填空】

　　奇数是：，偶数是：。

　　2、在2、3、45、10、22、17、51、91、93、97中。【填空】

　　质数是：，合数是：。

　　3、在自然数中，最小的奇数是()，最小的质数是()，最小的合数是()。【填空】

　　4、质数只有()个因数，它们分别是()和()。一个合数至少有()个因数，()既不是质数，也不是合数。自然数中，既是质数又是偶数的是()。【填空】

　　5、在1—20的自然数中，奇数有（），偶数有（）素数有（），合数有（）。既是奇数又是合数的数是（），连续的两个合数是（）。【填空】

　　6、素数都是奇数，合数都是偶数。（）【判断】

　　7、三个连续自然数，连续奇数，连续偶数的和都是3的倍数。（）【判断】

　　8、下面是银湖小学四年级各班人数。（）个班可以分成人数相等的小组，（）个班不可以分成人数相等的小组。

　　9、按要求写出两个连续的自然数。【填空】

　　（1）两个数都是素数：（）和（）。

　　(2)两个数都是合数：（）和（）。

　　（3）一个数是素数、一个数是合数：（）和（）。

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